第6章 计算机的运算方法

课件来源：《计算机组成原理》课件 cod 版 Slide 259–370（共 112 页），唯一主来源。本章是全书最重点的大章、计算最密集：机器数互求、补码加减与溢出、原码/补码乘除竖式、浮点加减几乎必考大题；6.5 进位链常考填空与简答。

0. 本章考点清单

1. 无符号数、机器数与真值（6.1）

概念精讲：无符号数没有符号位，寄存器位数直接决定表示范围：8 位 0～255，16 位 0～65535（课件 p.260）。有符号数把符号数字化：0 表示正、1 表示负，与数值部分一起构成机器数；带 "+/−" 的实际值称为真值（课件 p.261）。

要点：小数点位置是"约定"的，不占存储位；定点机靠约定区分小数/整数（见 §6）。 易错警示：机器数 ≠ 真值。同一个代码 10000000 按无符号、原、补、反解释得到 128、−0、−128、−127 四个不同真值（课件 p.280）。

2. 原码表示法

定义（课件 p.262–263，n 为数值位数，符号位与数值用逗号/小数点隔开）：

整数：[x]原 = 0,x        当 2ⁿ > x ≥ 0
             2ⁿ − x      当 0 ≥ x > −2ⁿ
小数：[x]原 = x          当 1 > x ≥ 0
             1 − x       当 0 ≥ x > −1

即"符号位 + 绝对值"。例：x=+1110 → [x]原=0,1110；x=−1110 → [x]原=2⁴−(−1110)=10000+1110=1,1110（符号 1、数值 1110）；x=+0.1101 → 0.1101；x=−0.1101 → 1−(−0.1101)=1.1101（课件 p.262–263）。

例题结论（详见习题册题 1–4）：[x]原=1.0011 → x=−0.0011；[x]原=1,1100 → x=−1100；[x]原=0.1101 → x=+0.1101（课件 p.264–265）。

0 的原码不唯一：[+0]原=0.0000（整数 0,0000），[−0]原=1.0000（整数 1,0000），二者不等（课件 p.265）。

原码的缺点（课件 p.266）：做加法时必须先比较符号——同号相加、异号相减，结果符号还要单独判断，无法"只做加法"。于是引出"找一个与负数等价的正数"——补码。 易错警示：原码范围对称（±(2ⁿ−1) / ±(1−2⁻ⁿ)），且有两个 0；原码不能直接送加法器做加减。

3. 补码表示法

补（模）的概念（课件 p.267–269）：时钟以 12 为模，倒拨 3 小时等价于顺拨 9 小时：−3 ≡ +9 (mod 12)；计数器以 16 为模：−1011 ≡ +0101 (mod 2⁴)；小数以 2 为模：−0.1001 ≡ +1.0111 (mod 2)。结论： - 一个负数加上"模"即得该负数的补数； - 互为补数的正负两数绝对值之和 = 模； - 正数的补数是其本身；两互为补数的数同加模后仍互为补数。

定义（课件 p.270–271）：

整数：[x]补 = 0,x          当 2ⁿ > x ≥ 0
             2ⁿ⁺¹ + x      当 0 > x ≥ −2ⁿ   (mod 2ⁿ⁺¹)
小数：[x]补 = x            当 1 > x ≥ 0
             2 + x         当 0 > x ≥ −1    (mod 2)

例：x=−1011000 → [x]补 = 2⁸ + (−1011000) = 1,0101000；x=−0.1100000 → [x]补 = 2 + (−0.1100000) = 1.0100000。

快捷求法（课件 p.272、274）：真值为负时，补码 = 原码符号位不变、数值位每位取反、末位加 1；反之由补码求原码用同一规则。例 x=−1010：[x]原=1,1010 → 取反 1,0101 → +1 → [x]补=1,0110。

重要结论（课件 p.275 练习）：[+0]补 = [−0]补 = 0.0000（0 唯一）；[−1]补 = 2 + (−1) = 1.0000，而 −1 的原码不能表示——补码比原码多表示一个最小负数。 易错警示：补码的符号位是"算出来的"（模运算结果），不是人为贴上去的；[−1]补=1.0000、整数 [−2ⁿ]补=1,00…0 是常考空。

4. 反码表示法与三种机器数小结

定义（课件 p.276–277）：

整数：[x]反 = 0,x              当 2ⁿ > x ≥ 0
             (2ⁿ⁺¹ − 1) + x    当 0 ≥ x > −2ⁿ  (mod 2ⁿ⁺¹ − 1)
小数：[x]反 = x                当 1 > x ≥ 0
             (2 − 2⁻ⁿ) + x     当 0 ≥ x > −1   (mod 2 − 2⁻ⁿ)

即负数反码 = 原码符号位不变、数值位每位取反（不加 1）。例：x=−1101 → [x]反=1,0010；x=−0.1010 → [x]反=1.0101。0 的反码也不唯一：[+0]反=0.0000，[−0]反=1.1111（课件 p.278）。

三种机器数小结（课件 p.279）： - 正数：原码 = 补码 = 反码； - 负数：符号位均为 1；原码数值位取反 → 反码；取反末位加 1 → 补码； - 最高位为符号位，书写用 ","（整数）或 "."（小数）隔开。

例 6.11 四种解释对照（课件 p.280，8 位含 1 位符号位）：

例 6.12 求 [−y]补（"求补"操作）（课件 p.281）：不论 [y]补 符号如何，将 [y]补 连同符号位在内每位取反、末位加 1，即得 [−y]补。这是补码减法硬件的核心操作。 易错警示：求 [−y]补 时符号位也要取反；而"原码↔补码"互求时符号位不变——两条规则别混。

5. 移码表示法

动机（课件 p.282）：补码不便直接比较真值大小（如 +21 的补码 0,10101 与 −21 的补码 1,01011，按代码比大小会判错）；加上偏置 2ⁿ 后代码大小与真值大小一致。

定义（课件 p.283，n 为整数数值位数）：[x]移 = 2ⁿ + x（2ⁿ > x ≥ −2ⁿ）。例 n=5：x=+10100 → 1,10100；x=−10100 → 0,01100。

与补码的关系（课件 p.284）：移码与补码仅符号位相反，数值位完全相同。例 x=+1100100：[x]补=0,1100100，[x]移=1,1100100；x=−1100100：[x]补=1,0011100，[x]移=0,0011100。

特点（课件 p.285–286）： - 最小真值 −2ⁿ 的移码为全 0；[+0]移 = [−0]移 = 1,00…0（0 唯一）； - 移码符号位 1 表示正、0 表示负（与补码相反）； - 移码只用于整数，典型用途是浮点数的阶码：便于比较阶码大小、便于判 0。

易错警示：移码没有小数形式；"移码 = 补码符号位取反"只对同一真值、同一位数成立。

6. 数的定点表示（6.2）

小数点按约定固定（课件 p.287）：小数定点机小数点在符号位之后（Sf . S1S2…Sn）；整数定点机小数点在末尾。定点机中可用原码、补码、反码，范围如下（n 为数值位数）：

易错警示：补码小数能取到 −1 而原/反不能；做题先看清"含几位符号位"。

7. 数的浮点表示

一般形式（课件 p.288）：N = S × r^j。S 尾数（小数、可正可负），j 阶码（整数、可正可负），r 基数（计算机中取 2、4、8、16）。同一数可有多种浮点写法：11.0101 = 0.110101×2¹⁰ = 1.10101×2¹ = 1101.01×2⁻¹⁰ = 0.00110101×2¹⁰⁰（指数为二进制）。其中规格化数要求尾数最高位为 1（r=2 时）。

格式（课件 p.289）：

• 阶符 jf + 阶码数值 m 位：m 反映表示范围；jf 与 m 共同决定小数点实际位置；
• 数符 Sf + 尾数数值 n 位：n 反映精度；Sf 代表浮点数符号。

表示范围（课件 p.290，阶码、尾数均补码、未规格化）：

上溢：阶码 > 最大阶码（报错/中断）；下溢：阶码 < 最小阶码，按机器零处理。 位数分配练习（课件 p.291）：24 位字长表示 ±3 万：2¹⁴=16384 < 30000 < 32768=2¹⁵，规格化后需 15 位二进制数值 → 阶码数值 m=4（2⁴−1=15 够用），尾数 n = 24−2−4 = 18（保证最大精度）。

规格化（课件 p.292–293）： - r=2：尾数最高位为 1；r=4：最高 2 位不全 0；r=8：最高 3 位不全 0； - 左规：尾数左移 1 位（r=2）、阶码减 1；右规：尾数右移 1 位、阶码加 1（r=4/8 时每次移 2/3 位）； - 基数 r 越大：范围越大、精度越低； - 规格化后（m=4, n=10）：最小正数 = 2⁻¹⁵×2⁻¹ = 2⁻¹⁶，最大负数 = −2⁻¹⁶（课件 p.293）。

机器零（课件 p.297）：① 尾数为 0，不论阶码为何值 → 机器零；② 阶码 ≤ 所能表示的最小阶码，不论尾数为何值 → 机器零。 - 阶码、尾数都用补码：机器零为 ×,××××; 0.00…0，或 1,0000; ×.××…×（阶码 = −16）； - 阶码移码、尾数补码：机器零为 0,0000; 0.00…0（全 0），最有利于"判 0"电路实现。

例 6.13–6.15 结论（完整步骤见习题册题 15–17）：+19/128 = 0.0010011 = 0.1001100000×2⁻¹⁰；−58 = −111010 = −0.1110100000×2¹¹⁰，其"阶移尾补"形式为 1,0110; 1.0001100000（课件 p.294–295）。 易错警示：浮点数的符号由数符决定，与阶码符号无关；"阶码大"不代表"数大"还要看尾数，但规格化后阶码决定数量级。

8. IEEE 754 标准

课件 p.298 给出三种格式（尾数均为规格化表示，非 0 有效位最高位为 1 且隐含不存）：

（补充常识）短实数阶码偏置值为 127、长实数为 1023，即阶码字段 = 真值阶 + 偏置；课件未列偏置数值，若考转换按此常识处理。 易错警示：23 位尾数字段因隐含 1 实际提供 24 位精度；IEEE 754 的"规格化"是 1.xxx 形式，与本章 0.1xxx 形式差一次左规/右规。

9. 移位运算（6.3）

意义（课件 p.299）：左移绝对值扩大（×2）、右移绝对值缩小（÷2）；移位与加减配合即可实现乘除。

算术移位添补规则（课件 p.300，符号位不变）：

例 6.16/6.17（课件 p.301–303，8 位含 1 符号位）：+26 = 0,0011010，左移 1/2 位得 +52/+104，右移 1/2 位得 +13/+6（丢 1 影响精度）。−26：原码 1,0011010、补码 1,1100110、反码 1,1100101；左移 1/2 位三码均得 −52/−104；右移 1 位均得 −13；右移 2 位：补码得 1,1111001 = −7，反码得 1,1111001 = −6（同一代码不同码制真值不同；补码右移向 −∞ 舍入）。

硬件实现（课件 p.304）：左移丢 1 → 出错（溢出性质）；右移丢 1 → 影响精度。 算术 vs 逻辑移位（课件 p.305）：算术移位针对有符号数（按上表添补）；逻辑移位针对无符号数，左移低位添 0 高位移丢、右移高位添 0 低位移丢。课件例：01010011 逻辑左移 = 10100110，算术左移 = 00100110（符号位不变、数值最高位 1 移丢入 Cy，出错）；10110010 逻辑右移 = 01011001，算术右移 = 11011001（补码添 1）。 易错警示：负数补码右移添 1 不是添 0；"左移一位=×2"只在未丢 1 时成立。

10. 补码加减法与溢出判断

公式（课件 p.306）：

加法：[A+B]补 = [A]补 + [B]补      (mod 2ⁿ⁺¹ 整数 / mod 2 小数)
减法：[A−B]补 = [A]补 + [−B]补     (mod 2ⁿ⁺¹ / mod 2)

连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉。[−B]补 用"连同符号位取反加 1"求得。例 6.18–6.20 见习题册题 20–22。

溢出判断①：一位符号位（课件 p.309）：两操作数符号相同（减法指被减数与求补后的减数），结果符号与之不同 → 溢出。硬件：V = 符号位进位 ⊕ 最高数值位进位（1⊕0、0⊕1 溢出；0⊕0、1⊕1 不溢出）。

溢出判断②：两位符号位（变形补码，mod 4）（课件 p.310）：

[x]补' = x        1 > x ≥ 0
        4 + x     0 > x ≥ −1   (mod 4)

结果双符号位 00（正）/11（负）→ 未溢出；01 → 正溢（上溢），10 → 负溢（下溢）；最高符号位代表真正符号。

硬件配置（课件 p.311）：

A、X 均 n+1 位；加法器 n+1 位；减法标记 GS 控制求补逻辑（对 X 求补后相加）；溢出判断输出 V。 易错警示：符号位进位丢弃 ≠ 溢出；溢出看"进位异或"或"双符号位是否一致"。正+正得负、负+负得正必溢出（课件 p.308 练习 1、2 的"错"即此）。

11. 原码乘法（一位乘、两位乘）

笔算分析（课件 p.312–315）：符号单独处理；乘数每一位决定是否加被乘数；n 个位积相加、积位数翻倍。改进：把"位积一起加"改为加一次、右移一次的递推：部分积只与被乘数的高位相加，乘数右移腾出高位存放部分积低位。硬件：3 个带移位功能的寄存器 + 1 个全加器；n=4 时加 4 次、移 4 次。

一位乘规则（课件 p.316–317）：[x·y]原 = (x₀⊕y₀).(x·y)，x、y 为绝对值。递推：z₀=0；z₁=2⁻¹(yₙx+z₀)；z₂=2⁻¹(yₙ₋₁x+z₁)；…；zₙ=2⁻¹(y₁x*+zₙ₋₁)。即乘数末位为 1 加 x为 0 加 0，然后逻辑右移 1 位**，共 n 次。

例 6.21 竖式（x=−0.1110, y=0.1101，课件 p.318–319）：

结果 x·y = 0.10110110，符号 1⊕0=1 → [x·y]原 = 1.10110110。特点：绝对值运算、逻辑移位、用移位次数判断结束。

硬件（课件 p.320）：

两位乘（课件 p.321–322）：每次看乘数 2 位 yₙ₋₁yₙ 加标志 Cj。难点是 3x：用 3x = 4x − x** 化解——本步 −x、置 Cj=1，下一步（高 2 位处）+x 偿还 4x*。判断表：

实际操作为 +[x]补、+[2x]补、+[−x]补，算术（补码）右移 2 位；部分积取 3 位符号位防溢出。例 6.22（x=0.111111, y=−0.111001）：3 次右移后 Cj=1，最后再 +x 不移位校正，得 [x·y]原 = 1.111000000111（课件 p.323–324，竖式见习题册题 26）。

一位乘 vs 两位乘（课件 p.325）：符号均 x₀⊕y₀；操作数分别为绝对值 / 绝对值的补码；逻辑右移 / 算术右移；移位 n 次 / n/2 次（n 偶）；最多加 n 次 / n/2+1 次（n 偶）。思考：n 为奇数时移 (n+1)/2 次、最多加 (n+1)/2+1 次。 易错警示：两位乘的"−x"是加 [−x]补；最后 Cj=1 的校正加不移位；两位乘移位次数按"组"数算。

12. 补码乘法（Booth 算法）

规则铺垫（课件 p.326）：乘数为正时同原码乘但按补码规则加/移，符号自然形成；乘数为负时去掉符号位照做、最后 +[−x]补 校正。Booth 把两者统一。

Booth 推导结论（课件 p.327–328）：[x·y]补 = [x]补 × [(y₁−y₀) + (y₂−y₁)2⁻¹ + … + (yₙ₊₁−yₙ)2⁻ⁿ]，附加位 yₙ₊₁=0。递推：[z₀]补=0；每步按 yᵢyᵢ₊₁ 判断：

共 n+1 步，最后一步（y₀y₁）只加不移位；移位为补码（算术）右移。

例 6.23 竖式（x=+0.0011, y=−0.1011，课件 p.329）：

[x]补=0.0011、[y]补=1.0101、[−x]补=1.1101；五步操作依次为 +[−x]补、+[x]补、+[−x]补、+[x]补、+[−x]补（末步不移位），得 [x·y]补 = 1.11011111（真值 −33/256）。

硬件（课件 p.330）：

乘法小结（课件 p.331）：原码乘符号单独处理、补码乘符号自然形成；原码乘去掉符号位即无符号数乘法；整数乘与小数乘完全相同（逗号代小数点）。 易错警示：Booth 判断位是"当前末位 + 附加位"，附加位初值 0 且随移位更新；步数 = n+1 而非 n。

13. 原码除法（恢复余数法、加减交替法）

笔算 vs 机器（课件 p.332–333）：机器除法改为余数左移 1 位、减除数（1 倍字长加法器），在寄存器最末位上商；商符 x₀⊕y₀ 单独形成。 约定（课件 p.334）：除数 ≠ 0；小数定点除要求 |x| < |y|（整数除要求 |x| > |y|），否则商溢出；数值部分按绝对值相除。

恢复余数法（课件 p.335–336，例 6.24）：余数为正上商 1；余数为负上商 0 并*加 y 恢复余数，再左移。上商 n+1 次（第一次上商判溢出**：若为 1 说明 |x|≥|y| 溢出），左移 n 次。

加减交替法（不恢复余数）（课件 p.337）：余数 Rᵢ>0 上商 1，下一步 2Rᵢ−y；Rᵢ<0 上商 0，下一步 2Rᵢ+y（把"恢复+左移+减"合并为"左移+加"）。

例 6.25 竖式（x=−0.1011, y=−0.1101，课件 p.338–339）：

商 0.1101、余数 0.0111×2⁻⁴；商符 1⊕1=0 → [x/y]原 = 0.1101。特点：移 n 次、加 n+1 次、上商 n+1 次，用移位次数判结束。 硬件（课件 p.340）：A、X、Q 均 n+1 位，n+1 位加法器，Qₙ（商末位）控制加减交替，左移。 易错警示：加减交替法最后一步若余数为负，仍需恢复余数才是正确余数（课件例题末余数为正故未体现）；上商顺序是"先判旧余数符号上商，再算新余数"。

14. 补码除法（加减交替法）

商值确定（课件 p.341–343）：操作数直接用补码。第一步：[x]补与[y]补同号做减法、异号做加法得 R₀。之后统一规则：[Rᵢ]补与[y]补同号上商 1，异号上商 0（正商按原码上商、负商按反码上商，二者化简后一致）。末位恒置 1。 商符（课件 p.344）：第一次上商即商符，自然形成；小数除法第一次"不够减"：正商上 0、负商上 1；第一次商也可判溢出（与约定相反即溢出）。 新余数（课件 p.345）：上商 1 → 2[Rᵢ]补 + [−y]补；上商 0 → 2[Rᵢ]补 + [y]补；余数逻辑左移。

例 6.26 竖式（x=−0.1011, y=+0.1101，课件 p.346）：

[x]补=1.0101、[y]补=0.1101、[−y]补=1.0011；商序列 1,0,0,1,1（末位恒置 1）→ [x/y]补 = 1.0011 → 真值 −0.1101。 小结（课件 p.347）：上商 n+1 次（末位恒置 1）、加 n 次、移 n 次；精度误差最大 2⁻ⁿ。 与原码除比较（课件 p.348）：商符 x₀⊕y₀ / 自然形成；操作数 绝对值补码 / 补码；上商原则 余数正负 / 余数与除数符号比较；上商均 n+1 次；加法 n+1 / n 次；移位均逻辑左移 n 次；第一步 [x]补−[y]补 / 同号减异号加。 易错警示：补码除"够减/不够减"看余数与除数符号关系而非余数正负；末位恒置 1 是约定不是算出来的。

15. 浮点加减运算（6.4）

五步：对阶 → 尾数求和 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断。

① 对阶（课件 p.349）：Δj = jx − jy；小阶向大阶看齐：小阶的尾数右移 |Δj| 位、阶码加 |Δj|（右移只丢低位，误差小且可舍入补救；左移丢高位会严重出错）。 ② 尾数求和：按定点补码加减（双符号位）。 ③ 规格化（课件 p.351–353）：r=2 规格化定义 1/2 ≤ |S| < 1。判断：原码不论正负第一数位为 1；补码符号位与第一数位不同。特例：[−1/2]补 = 1.100…0 不是规格化数；[−1]补 = 1.000…0 是规格化数。左规：尾数左移 1 位、阶码减 1，直到数符与第一数位不同；右规：尾数出现 01.××… 或 10.××…（尾数溢出）时右移 1 位、阶码加 1。 ④ 舍入（课件 p.355）：对阶/右移丢低位时用 0 舍 1 入法或恒置 1 法。 ⑤ 溢出判断（课件 p.358）：

浮点溢出由阶码决定：阶码双符号位 01 → 上溢（报错）；10 → 下溢按机器零。尾数溢出只需右规，不算真正溢出。设阶符 2 位、阶码数值 7 位、数符 2 位、尾数 n 位：最大正数 2¹²⁷×(1−2⁻ⁿ)（00,1111111;00.11…1），最小正数 2⁻¹²⁸×2⁻¹（11,0000000;00.100…0），最大负数 −2⁻¹²⁸×(2⁻¹+2⁻ⁿ)（11,0000000;11.011…1），最小负数 2¹²⁷×(−1)（00,1111111;11.00…0）。

例题结论（完整步骤见习题册题 32–34）：p.350 例 x+y 对阶后 11.1001，左规得 00,10;11.0010 = −0.1110×2¹⁰；例 6.27 尾数和 01.001010 右规得 00,011;00.100101 = 0.100101×2¹¹；例 6.28 x−y 右规得 11,101;11.011010 = −0.100110×2⁻¹¹ = (−19/32)×2⁻³。 易错警示：对阶永远"小阶向大阶"；左规可能多次、右规最多一次；规格化判断对补码看"符号位⊕第一数位=1"。

16. 浮点乘除运算

课件 p.359：x·y = (Sx·Sy) × 2^(jx+jy)；x/y = (Sx/Sy) × 2^(jx−jy)。 - 阶码用补码定点加（乘）/减（除）； - 尾数乘除同定点乘除； - 结果规格化； - 浮点运算部件 = 阶码运算部件 + 尾数运算部件。 易错警示：浮点乘除不需要对阶；阶码相加后可能溢出，需按阶码溢出处理。

17. 算术逻辑单元 ALU 与快速进位链（6.5）

ALU 电路（课件 p.360）：组合逻辑电路；核心是多位全加器加控制门 Ki；典型芯片四位 ALU 74181：M=0 算术运算、M=1 逻辑运算，S3～S0 不同取值选择不同运算。

并行加法器（课件 p.361）：各位全加器同时相加，但进位仍可能串行。定义 dᵢ = AᵢBᵢ（本地进位/生成）、tᵢ = Aᵢ+Bᵢ（传送条件），则 Cᵢ = dᵢ + tᵢC₋₁；Sᵢ = Aᵢ ⊕ Bᵢ ⊕ Cᵢ₋₁。

串行进位链（课件 p.362）：C₀=d₀+t₀C₋₁，C₁=d₁+t₁C₀，C₂=d₂+t₂C₁，C₃=d₃+t₃C₂，逐级传递。设与非门级延迟 ty：每位进位 2ty，4 位全加器产生全部进位 8ty，n 位 2n·ty。

并行进位链（先行进位、跳跃进位）（课件 p.363）：

C0 = d0 + t0C-1
C1 = d1 + t1d0 + t1t0C-1
C2 = d2 + t2d1 + t2t1d0 + t2t1t0C-1
C3 = d3 + t3d2 + t3t2d1 + t3t2t1d0 + t3t2t1t0C-1

各级进位同时产生；设与或非门延迟 1.5ty，dᵢ、tᵢ 形成后只需 2.5ty 产生全部进位。

单重分组跳跃进位链（课件 p.364）：n 位分若干小组，组内并行、组间串行。n=16 每 4 位一组：

dᵢ、tᵢ 形成后经 2.5ty 产生 C3～C0，5ty 产生 C7～C4，7.5ty 产生 C11～C8，10ty 产生 C15～C12（全部）。

双重分组跳跃进位链（课件 p.365–370）：n 位分大组、大组含小组；每个大组内各小组的最高位进位同时产生，大组间串行。n=32 分 2 大组 × 4 小组 × 4 位。小组进位输出：D₈ = d3+t3d2+t3t2d1+t3t2t1d0（小组本地进位，与外来进位无关）、T₈ = t3t2t1t0（小组传送条件）；大组链：C3 = D8+T8C₋₁，C7 = D7+T7C3，C11 = D6+T6C7，C15 = D5+T5C11（课件 p.366）。小组线路只产生低 3 位进位 C2、C1、C0 和本组 D、T（课件 p.368）。

n=16 时序（dᵢ、tᵢ 与 C₋₁ 形成后）：2.5ty 产生 C2、C1、C0 及 D5～D8、T5～T8；5ty 产生 C15、C11、C7、C3；7.5ty 产生 C14～12、C10～8、C6～4；10ty 全部进位（对比：串行 32ty、单重 10ty）。n=32 双重分组同样四级：2.5ty → C2,C1,C0,D1～D8,T1～T8；5ty → C15,C11,C7,C3；7.5ty → C18～16,C14～12,C10～8,C6～4 及 C31,C27,C23,C19；10ty → C30～28,C26～24,C22～20（课件 p.370）。 易错警示：2.5ty/10ty 均指"dᵢ、tᵢ 形成之后"；串行 n 位是 2n·ty 不是 n·ty；双重分组大组间仍串行，故 n=32 与 n=16 同为 10ty（大组数=2）。

18. 易错点与高频陷阱汇总

1. 同一代码四种解释真值不同：10000000 = 无符号 128 / 原 −0 / 补 −128 / 反 −127（p.280）。
2. 原码、反码的 0 有两种表示；补码、移码的 0 唯一（p.265、278、286）。
3. 补码多表示一个最小负数：小数 [−1]补=1.0000、整数 [−2ⁿ]补=1,00…0，原码表示不了（p.275）。
4. 原↔补互求"符号位不变、数值取反加 1"；求 [−y]补"连同符号位取反加 1"——两者别混（p.272、281）。
5. 移码 = 补码符号位取反；移码全 0 对应最小真值而非 0；移码只用于整数阶码（p.284–286）。
6. 负数补码算术右移添 1、反码添 1、原码添 0；左移一律添 0（p.300）。
7. 补码右移向 −∞ 舍入：−26 右移 2 位补码得 −7、反码得 −6（p.303）。
8. 符号位进位丢弃是 mod 运算的正常行为，不等于溢出；溢出用 V=C符⊕C数 或双符号位 01/10 判（p.309–310）。
9. 正+正得负、负+负得正必溢出：9/16+11/16 机器得 −12/16、−97−41 机器得 +118 都是错的（p.308）。
10. 原码一位乘用逻辑右移、两位乘与 Booth 用算术右移；Booth 共 n+1 步且末步不移位（p.319、324、328）。
11. 两位乘 Cj=1 的末尾校正加不移位；n 奇数时移 (n+1)/2 次、最多加 (n+1)/2+1 次（p.323–325）。
12. 除法第一次上商判溢出：小数除 |x|≥|y| 即溢出；补码除上商看余数与除数符号同异，不是余数正负（p.336、343）。
13. 补码除末位恒置 1，误差 ≤2⁻ⁿ；商符由第一次上商自然形成（p.346–347）。
14. 对阶只能小阶向大阶（尾数右移）；尾数溢出右规不是真溢出，阶码双符号位 01 才是上溢、10 下溢按机器零（p.349、358）。
15. 补码规格化看"符号位与第一数位不同"；[−1/2]补=1.100…0 不规格化、[−1]补=1.000…0 规格化（p.351–352）。
16. 进位时间基准是 dᵢ、tᵢ 形成后：串行 2n·ty、4 位并行 2.5ty、16 位单重/双重均 10ty（p.362–369）。

19. 典型例题精讲

精讲 1（Booth 算法，课件 p.329 例 6.23）：x=+0.0011，y=−0.1011，求 [x·y]补。 ① 准备：[x]补=00.0011（双符号），[−x]补=11.1101，[y]补=1.0101，附加位 y₅=0。 ② 逐步（判断位→操作→算术右移）： - y₄y₅=10 → +[−x]补：00.0000+11.1101=11.1101 → 右移 11.1110，乘数串 1 1010，附加 1； - y₄y₅=01 → +[x]补：11.1110+00.0011=00.0001 → 右移 00.0000，乘数串 11 101，附加 0； - y₄y₅=10 → +[−x]补：00.0000+11.1101=11.1101 → 右移 11.1110，乘数串 111 10，附加 1； - y₄y₅=01 → +[x]补：11.1110+00.0011=00.0001 → 右移 00.0000，乘数串 1111 1，附加 0； - y₀y₁=10 → +[−x]补：00.0000+11.1101=11.1101，不移位。 ③ 拼接：[x·y]补 = 11.1101 1111 → 单符号 1.11011111。验证：x·y = (3/16)(−11/16) = −33/256，而 1.11011111 真值 = −(0.00100001) = −33/256 ✓。 教学点：判断位永远取"乘数串末位+附加位"；加法用双符号位防中间溢出；最后一步对应 (y₁−y₀) 项故不移位。

精讲 2（补码除法，课件 p.346 例 6.26）：x=−0.1011，y=+0.1101。 ① [x]补=1.0101，[y]补=0.1101，[−y]补=1.0011；异号 → 第一步加：1.0101+0.1101=0.0010。 ② R₀=0.0010 与 y 同号 → 商 1（商符，负商的反码形式首位）；左移 0.0100，商 1 故 +[−y]补：0.0100+1.0011=1.0111。 ③ 1.0111 与 y 异号 → 商 0；左移 0.1110，+[y]补：0.1110+0.1101=1.1011。 ④ 异号 → 商 0；左移 1.0110，+[y]补：1.0110+0.1101=0.0011。 ⑤ 同号 → 商 1；左移 0.0110，+[−y]补：0.0110+1.0011=1.1001；末位恒置 1。 ⑥ 商 = 1.0011 → [x/y]补=1.0011，真值 −0.1101。验证：−11/13 ≈ −0.846，−0.1101 = −0.8125，误差 0.034 < 2⁻⁴ ✓。 教学点：第一步"同号减、异号加"；上商统一"余除同号 1、异号 0"；左移是逻辑左移（符号位移丢）。

精讲 3（浮点减法全流程，课件 p.356–357 例 6.28）：x=(−5/8)×2⁻⁵，y=(7/8)×2⁻⁴，阶码 3 位、尾数 6 位（均另加双符号）。 ① 写补码：x=−0.101000×2⁻¹⁰¹ → [x]补=11,011;11.011000；y=0.111000×2⁻¹⁰⁰ → [y]补=11,100;00.111000。 ② 对阶：[Δj]补=11,011+00,100=11,111（−1）→ x 阶小，Sx 右移 1 位、阶 +1：[x]补'=11,100;11.101100。 ③ 尾数求差：[Sx]补'+[−Sy]补 = 11.101100+11.001000 = 10.110100（丢最高进位）→ 双符号 10，尾数溢出。 ④ 右规：右移 1 位得 11.011010，阶码 11,100+1=11,101 → [x−y]补=11,101;11.011010。 ⑤ 还原：尾数真值 −0.100110，阶 −3 → x−y = −0.100110×2⁻¹¹ = (−19/32)×2⁻³。验证：−5/256−14/256 = −19/256 ✓。阶码双符号 11 未溢出。 教学点：五步缺一不可；右规后必须重新检查规格化（11.011010 符号 1 首位 0，已规格化）。

精讲 4（溢出判断，课件 p.308 练习 2）：8 位补码 A=−97、B=+41，求 A−B。 [A]补=1,0011111，[−B]补=1,1010111；相加 = 10,1110110 → 丢进位 0,1110110 = +118。两负数相加得正 → 溢出（V：符号位进位 1 ⊕ 数值最高位进位 0 = 1）。真值 −138 < −128 超出范围，故课件标"错"。双符号位验证：11,0011111+11,1010111 = 110,1110110 → 10,1110110，双符号 10 = 负溢 ✓。

附：本章速查表

四码定义（负数情形，n 为数值位数）

8 位（含 1 符号位）范围：无符号 0～255；原/反 −127～+127；补 −128～+127。 求补操作：[−y]补 = [y]补 全位取反 +1。 溢出：V = C符 ⊕ C最高数值位；双符号 01 正溢、10 负溢。 移位添补：正数全 0；负原 0/0；负补 左 0 右 1；负反 1/1。 Booth 判断：00/11→+0 移；01→+[x]补 移；10→+[−x]补 移；n+1 步末步不移。 原码两位乘判断（yₙ₋₁yₙ,Cj）：000→+0；001/010→+x；011/100→+2x；101/110→−x* 置 Cj=1；111→+0 保持 Cj=1；均右移 2 位（末校正不移）。 除法上商：原码除 余正 1 余负 0；补码除 余除同号 1 异号 0，末位恒置 1；均上商 n+1 次、左移 n 次；原码加 n+1 次、补码加 n 次。 规格化：原码第一数位 1；补码符号⊕第一数位=1；左规左移阶减、右规右移阶加。 浮点边界（阶 m 位数值、尾 n 位数值，补码）：最大正 2^(2^m−1)(1−2⁻ⁿ)；最小正 2^−(2^m−1)·2⁻ⁿ；规格化后最小正 2^−(2^m−1)·2⁻¹。 机器零：阶移尾补 = 全 0；阶补尾补 = 1,00…0;×.×…× 或 ×,…;0.0…0。 IEEE 754：32=1+8+23；64=1+11+52；80=1+15+64；隐含最高 1。 进位时间（dᵢ,tᵢ 形成后）：串行 n 位 2n·ty；4 位并行 2.5ty；16 位单重 10ty；16/32 位双重 10ty。 74181：M=0 算术、M=1 逻辑；S3～S0 选运算。